Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidores múltiples.

EJERCICIO.

Dos compañías de taxis atienden a una comunidad. Cada empresa posee 2 taxis y se sabe que ambas compañías comparten el mercado casi igualmente, las llamadas llegan a cada compañía a una tasa de 8 por hora, el tiempo promedio de viaje es de 12 minutos las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. Recientemente las 2 compañías fueron compradas por un inversionista para proporcionar un servicio más rápido a los clientes. Si no es posible comprar más taxis y se pretende reducir el tiempo de espera, lo que se consigue cuando la oficina despachadora informe a los clientes nuevos, de un potencial retraso excesivo una vez que la lista llega a 6, investigue la factibilidad de que ese consejo sea seguido (consolidar o no).

Solución: MOSTREMOS LOS 2 POSIBLES ESCENARIOS

ESCENARIO 1: CONSOLIDAR EN UNA SOLA COMPAÑÍA

Paso 1.- (M/M/4):(FCFS/10/inf). Son 4 taxis (4 servidores), N = 10, porque serían los 4 clientes que están siendo atendidos + los 6 que máximo estarían esperando.

Paso 2.- El diagrama de transición.

λ =8clientes/hora+8clientes/hora = 16 clientes/hora (8clientes/hora, por cada compañía)

E(t)=12min=1/5 h
µ=1/E(t) = 5 clientes/hora

EXPLICACIÓN: Si un taxista puede servir a 5 clientes por hora, 2 taxistas pueden servir a 10, 3 taxistas a 15, y 4 a 20 clientes por hora; pero al no haber más taxis, es obvio que, la tasa de servicio desde allí en adelante será una constante de 20 clientes por hora.

Paso 3.- Las probabilidades

P0 = [1+λ0/µ1+ λ0λ1/µ1µ2 + λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 + λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4
+ λ0λ1λ2λ3λ4/µ1µ2µ3µ4µ5+…+λ0λ1λ2…λ9/µ1µ2µ3… µ10]^-1

P0=0.03121

P1=(3.2)(0.03121)=0.09987

P2=5.12(0.03121)=0.15979

P3=5.46133 (0.03121)=0.17045

P4=4.3691(0.03121)=0.13636

P5=0.10909

P6=0.08727

P7=0.06982

P8=0.05585

P9=0.04468

P10=0.03575

Paso 4.- las medidas de efectividad

λ= ∑λn Pn
λ=16P0+16P1+16P2+16P3+16P4+16P5+16P6+16P7+16P8+16P9
λ=15.42815

ρ=λ/µs

ρ=15.4285/20

ρ=0.77141

Lq = ∑(n-s) Pn
Lq=1P5+2P6+3P7+4P8+5P9+6P10
Lq=1.15421

L=4.23984

W=0.27481

Wq= Lq/λ
Wq=0.05934/7.99822
Wq=0.07481

Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidores múltiples. Continuación

ESCENARIO 2: SIN CONSOLIDAR (POR CADA COMPAÑÍA)

Paso 1.- (M/M/2):(FCFS/8/inf). Son 2 taxis (2 servidores), N = 8, porque serían los 2 clientes que están siendo atendidos + los 6 que máximo estarían esperando.

Paso 2.- El diagrama de transición.

λ =8 clientes/hora (8clientes/hora, por cada compañía)
E(t)=12min=1/5 h
µ=1/E(t) = 5 clientes/hora

EXPLICACIÓN: Si un taxista puede servir a 5 clientes por hora, 2 taxistas pueden servir a 10 clientes por hora; pero al no haber más taxis en cada compañía, es obvio que, la tasa de servicio desde allí en adelante será una constante de 10 clientes por hora.

Paso 3.- Las probabilidades

P0 = [1+λ0/µ1+ λ0λ1/µ1µ2 + λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 + λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4
+ λ0λ1λ2λ3λ4/µ1µ2µ3µ4µ5+…+λ0λ1λ2…λ7/µ1µ2µ3… µ8]^-1

P0=0.13059

P1=(1.6)(0.13059)=0.20894

P2=1.28(0.13059)=0. 16715

P3=1.024 (0.13059)=0.13372

P4=0.8192(0.13059)=0.10698

P5=0.08558

P6=0.06846

P7=0.05477

P8=0.04382

Paso 4.- las medidas de efectividad

λ= ∑λn Pn
λ=8P0+8P1+8P2+8P3+8P4+8P5+8P6+8P7
λ=7.64946

ρ=λ/µs
ρ=7.64946/10
ρ=0.761495

Lq = ∑(n-s) Pn
Lq=1P5+2P6+3P7+4P8+5P9+6P10
Lq=1.41503

L=2.94492

W=0.38498

Wq= Lq/λ
Wq=0.05934/7.99822
Wq=0.18498

Concluyendo: se debe consolidar en una sola compañía, pues, aún cuando rho es aproximadamente del 77% en ambos casos, es decir operan al 77% del tiempo en ambas circunstancias, los tiempos de espera y en el sistema son menores si se consolidan, así como la cantidad de personas esperando ser atendidas, Lq.

Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidor único

Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando este llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de la fila o la longitud promedio de clientes en el sistema.

Ejercicio.

Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas, las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución Exponencial. Si alguien llega , y el sistema esta lleno se retira sin entrar.

Pasos:

1.- Identificar el modelo.

La clasificación de este modelo es:
(M/M/1) : (FCFS/4/infinito). ¿Cómo se leería este modelo?

2.- Dibujar el diagrama de transición de un paso, en el que se representan los posibles estados del sistema y sus respectivas tasas de entrada y salida.

Para nuestro ejemplo tenemos los siguientes datos:
λ=8 clientes / hora (lambda = 8 clientes por hora)
E(t)= 10 min = 1/6h (el tiempo promedio de servicio es de 10 minutos, o sea un sexto de hora, con esto procedemos a calcular miu)
µ=1/E(t) = 6 clientes/h (miu = 6 clientes por hora). Es decir miu = 1 sobre E(t)

Note que no hay lambda4, así como tampoco miu0, recuérdelo.

3.- Calcular las probabilidades de estado estacionario.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀
P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1
μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0
μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0
P2= (λ₀ λ₁) P₀/ (μ₁μ₂)

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2
μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0
P3= (λ₀λ₁λ₂) P₀/ (μ₁μ₂μ₃)

P4= (λ₀λ₁λ₂λ₃) P₀/ (μ₁μ₂μ₃μ₄)

Por axioma, sabemos que, en nuestro caso:

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 =1, ENTONCES, al reemplazar tenemos:
P0+(λ0P0)/(μ1)+(λ0λ1P0)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2P0)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3P0)/(μ1μ2μ3μ4)=1

Luego, sacando factor común P0:
P0 {1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}=1

Ahora, despejando, P0 nos queda:
P0=1/{1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}

O, lo que da lo mismo:
P0={1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}^-1

Obtenemos P0:

P0 = 0.1037

Ahora, reemplazamos P0 para obtener las restantes probabilidades, verifique :

P1= λ0/µ1 * P0 = 8/6 * 0.1037 = 0.1383

P2= λ0λ1/µ1µ2 * P0 = (8/6)² * 0.1037 = 0.1844

P3= λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 * P0 = (8/6)³ * 0.1037 = 0.2458

P4= λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4 * P0 = (8/6)⁴ * 0.1037 = 0.3277

4.- Calcular las medidas de efectividad.

La utilización del servicio es: rho= lambda promedio o lo que es lo mismo lambda efectiva sobre, s (número de servidores) por miu.

Nota: para evitar confusiones vamos diferenciar lambda de lambda promedio (lambda efectiva), así:

Lambda lo representaremos, así: λ
Lambda promedio o efectiva, así: λeff, λ.

ρ=λeff/sµ. Por lo general rho debe ser menor que 1.

Al no haber lambda efectiva, lo calculamos así:

Lambda promedio es = a la sumatoria desde 0 hasta el número de clientes, de los productos entre lambda sub n por sus probabilidades correspondientes, entonces sería:

λ= ∑λ_n P_n

En nuestro caso cada lamda, desde lambda0 hasta lambda3 = 8

λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ=0.8296+1.1072+1.4752+1.9664+0
λeff=5.3776

probabilidad de que esté lleno, P4 = 0.3277

ρ=5.3776/6 = 0.8963
89.63 à Porcentaje que pasa ocupado el sistema.

P0 = 1 – ρ
P0 = 0.1037 à Prob. De que el sistema esté vacío.

L = ∑n Pn => 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + 4P4
L = 0 + 0.1283 + 0.365+0.7374+1.3108
L=2.5553

Lq = ∑(n-s) Pn

Lq = 0P1+P2+2P3+3P4
Lq = 0.1844+0.4916+0.9831
Lq=1.6591

W=L/λeff
W=2.5553/5.3776
W=0.4752

Wq=Lq/λeff
Wq=1.6591/5.3776
Wq=0.3085

5.- Si es posible, calcular los costos del sistema.
Es decir: Ct = CeS + CqLq; pero como aquí no se requiere, termina el ejercicio.

Teoría de Colas. Poisson Generalizado.

Largo plazo o estado estable.

Este modelo combina tanto llegadas como salidas con base en las suposiciones de Poisson, es decir los tiempos entre llegadas y de servicio siguen una distribución exponencial.

Este modelo generalizado es la base para la derivación de los modelos especializados de Poisson. Este modelo se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas, que se logra después de que el sistema ha estado en operación durante un período de tiempo suficientemente grande.

Es decir contrasta con el comportamiento transitorio o de calentamiento que vimos hasta la clase anterior, cabe decir que el análisis de ese calentamiento como se vio anteriormente fue muy complejo y es importantísimo recalcar que la mayor parte de las situaciones de colas se da en estado estable, como el del modelo generalizado.

Es importante que el sistema esté balanceado, es decir, que la tasa esperada de flujo de entrada al estado n debe ser igual a la tasa esperada de flujo de salida del estado n, así:

λ_n-1 P_n-1 + μ_n+1 P_{n +1} = λ_n P_n + μ_n P_n ; esta es la condición básica de balance: las entradas deben ser iguales a las salidas.

Note lo siguiente: partiendo de 0, el sistema sólo puede cambiar a uno, por qué?.

La lectura correcta sería: el sistema cambia su estado a 1, cuando un cliente arriba o llega, con una tasa lambda sub 0, y de 1 cambia a 0 con una tasa de servicio miu sub 1, es decir: cuando el sistema ya atendió al cliente. Esto se denomina el diagrama de tasa de transición que representa los posibles estados de un sistema.

Ecuaciones de balance.

Cuando el estado del sistema es 0 (cuando está vacío), es decir n=0.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀

P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

La probabilidad P1, al igual que las demás, las dejaremos en función de P0, recuérdelo.

n=1; cuando hay 1 sólo cliente en el sistema; es decir las entradas dan un valor 1, si estando vacío el sistema, llega un cliente con una tasa de llegada lambda 0, con su valor correspondiente de probabilidad P0, o también, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 2, con su valor correspondiente de probabilidad P2. En cambio las salidas pueden dar un valor 2, si estando 1 sólo cliente en el sistema, llega un nuevo cliente con una tasa de llegada lambda 1, con su valor correspondiente de probabilidad P1, o también puede quedarse vacío, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 1 con su valor correspondiente de probabilidad P1, representemos y hallemos P2

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1

μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0

μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0

P2= (λ1λ0)/(μ1μ2) P0

Por favor, revise y corrija lo demás.

n=2

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2

μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0

Pn = ((λ0λ1λ2… λn-1)/( μ1μ2μ3… μn))P0

P0+ (λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)=1

P0 { 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}=1

P0=1/{ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}

P0={ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}^-1

Teoría de Colas o Líneas de Espera (continuación)

TIPOS DE COLAS

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

a) Una línea, un servidor.

El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico.

b) Una línea, múltiples servidores.

El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.

c) Varias líneas, múltiples servidores.

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

Estructura:

Servidores

Tiene 2 características:

• Cantidad asignada para cada servidor.
• Distribuciones de probabilidad de tiempo de servicio (exponencial, erlang)

Transacciones Potenciales

Tiene 2 características:

• Tamaño ya sea este finito o infinito.
• Distribución de probabilidad de tiempo entre llegadas (Poisson) se dice que son procesos markovianos

Fila

Tiene 3 características:

• Capacidad que puede ser finita o infinita.
• El orden de atención a la fila.
• La forma de salida que pueden ser dos: 1.- Es atendido y sale; 2.-No es atendido y abandona.

Nomenclatura

S ---> Número de servidores
n ---> Número de clientes
N ---> Número máximo de clientes permitidos en el sistema
λn --> flujo de clientes que entran, cuando hay n clientes en el sistema
μn --> capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema
E(t) --> tiempo promedio de proceso por cliente
V(t) --> varianza del tiempo
E(a) --> tiempo promedio entre llegadas
V(a) --> varianza del tiempo entre llegadas
Ca² --> coeficiente cuadrado de variación del flujo de cleintes que entran al sistema
Cs² --> coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio
Cp² --> coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema
Pij ---> probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado j después de un intervalo de tiempo
Pn ---> Probabilidad en el estado estable de que existan n clientes en el sistema
L ---> Número promedio de clientes en el sistema
Lq --> Número promedio de clientes en la fila
W ---> Tiempo promedio de permanecia en el sistema
Wq --> Tiempo promedio de permanecia en la fila
r ---> utilización promedio del servicio
Ct ---> costo total promedio del sistema por unidad de tiempo
Ce ---> costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq ---> costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificación de Kendall y Lee

Se incluye 6 de las características de la estructura

(a / b / c) : (d / e/ f)

a .- Distribución de probabilidad de tiempo entre llegadas.

b .- Distribución de probabilidad de tiempo de servicio.

Estas sistribuciones pueden ser

• M Markovianos (Exponencial, Poisson)
• Ek Erlang parámetro K
• D Constante
• H Hiperexponencial
• G Cualquier tipo de distribución
• Gi General independiente

c .- número de servidores.
d .- orden de atención que pueden ser.

• FCFS primero en llegar primero en ser atendido
• LCFS ultimo en llegar último en ser atendido
• SIRO orden aleatorio
• PR prioridad
• G general

e.- número máximo de clientes que soporta en el sistema.

f .- número máximo de clientes potenciales en el sistema.

Ejemplos:

(M / D / 3) : ( FCFS / 20 / 20)

Distribución de probabilidad Markoviano con tiempo de servicio constante con 3 servidores la atención es primero en llegar primero en ser atendido, tiene 20 clientes que soporta el sistema, y 20 clientes potenciales en el sistema

(M / M / 1) : (LCFS / a / a )

Tanto la probabilidad de tiempo entre llegadas y de servicio es de tipo markoviano con atención último en llegar primero en ser atendido con capacidad de clientes y clientes potenciales infinito.

Teoría de Colas o Líneas de Espera

INTRODUCCIÓN.

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - partida.

Concepto Básico:

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes.

También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.

Definición.

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la línea de espera.

Conceptos Básicos.

Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a:

• Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.
• Máquinas que esperan ser reparadas.
• Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:

• Líneas telefónicas.
  
• Talleres de reparación.
• Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo:

• Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.
• Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a razón una cada 8 horas.
• Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

Objetivos de la Teoría de Colas.

Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas consiste en:

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo a Internet,... el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

Referencias:

Análisis y Simulación de Modelos Estocásticos --- > Azarang Mohammed

Investigación de Operaciones ---> Taha Hamdy

Pruebas de bondad de ajuste - Ejercicios

1.- Los siguientes son los ángulos descritos por las palomas mensajeras, en época de guerra, los cuales fueron medidos por investigadores para saber si retornan o no al punto de lanzamiento. Utilizando un ancho de intervalo igual a 13, aplique las pruebas de bondad de ajuste chi cuadrado y Kolmogorov-Smirnov, para determinar la distribución de probabilidad más apropiada, con un nivel de confianza del:

a) 90%

b) 95%

6, 7, 9, 18, 18, 17, 22, 28, 31, 30, 20, 22, 24, 25, 33, 36, 42, 42, 33, 45, 45, 50, 58, 60, 72, 83, 12, 12, 18, 10, 13, 15, 17, 17

2.- En un estudio para evaluar el rendimiento de una nueva variedad de maíz se consideró como variable en estudio el peso de la mazorca (en grs.) los resultados obtenidos en una muestra de 80 mazorcas son:

Peso en gramos ------------- Nº de Mazorcas (fi)
De 200 o menos a 250 --------------> 18
De 250 a 300 -------------------------> 22
De 300 a 350 -------------------------> 28
De 350 a 400 -------------------------> 9
De 400 a 450 o más -----------------> 3

¿Se puede afirmar con un nivel del 95%, que el peso de la mazorca se ajusta a una distribución normal?. Aplique las pruebas de bondad de ajuste chi cuadrado y Kolmogorov-Smirnov.

Nota: Peso en gramos, representa los límites normales; pero observe que el límite normal superior de la primera categoría (250), aparece como el límite normal inferior de la segunda categoría. EN OTRAS PALABRAS: los límites reales son los mismos que los normales y no deben modificarse, trabaje tal y como están.

Pruebas de bondad de ajuste

Prueba de bondad de ajuste Chi Cuadrado (X²)

La metodología de la prueba X² es la siguiente:

1. Se colocan los n datos históricos en una tabla de distribución de frecuencias de m = raíz de n intervalos, se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo (FO). Se calcula la media y la varianza de datos (de ser necesario).
2. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso anterior (proponer: discreta o continua).
3. Con la distribución propuesta se calcula la frecuencia esperada (FE) para cada intervalo mediante la integración de la distribución propuesta y su posterior multiplicación por el número total de datos.
4. Se calcula el estimador C, como la sumatoria desde i=1 hasta el número de intervalos (m), de las diferencias cuadradas entre las frecuencias esperadas y las observadas, sobre cada frecuencia esperada.
5. Sí (C<= X²_m-k-1,1-α). Si el estimador C es menor o igual al valor correspondiente X²(Chi cuadrado), con m menos k menos 1 grados de libertad y a un nivel de confiabilidad (1 menos alfa) 1-α, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que la información histórica sigue la distribución propuesta. Por tratarse de pruebas no paramétricas, k será siempre 0.

Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba comparándola con la de chi cuadrado es más eficiente en varios aspectos, ya que trabaja con la distribución de probabilidad acumulada. La metodología es la siguiente:

1. Se colocan los n datos históricos en una tabla de frecuencias con m = raíz de n intervalos, para cada intervalo se tendrá la frecuencia observada. Se calcula la media y la varianza de los datos.
2. Se calcula la probabilidad observada dividiendo la frecuencia observada por el total de datos (PO_i).
3. Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo (PAO_i).
4. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de distribución de frecuencia.
5. Se calcula la probabilidad acumulada esperada para cada intervalo (PAE_i).
6. Se calcula el valor absoluto entre la PAO y PAE para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia llamándola DM. El estimador se compara con el valor límite correspondiente a la tabla y a un nivel de confiabilidad de 1-α. Si el estimador DM es <= al valor límite de la tabla, entonces no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta.

El mes de la mujer

Muchas palabras son vertidas en estas fechas, todas con el propósito de resaltar las virtudes de aquel ser digno de respeto y admiración.

Entonces, se hace imprescindible buscar términos que permitan destacar su importancia, su abnegación, belleza, etc. Sin embargo, nunca será suficiente.

Para la mujer un detalle simple; pero de corazón: muy sincero.

Acróstico: Día De La Mujer

Diosa innata de divinidades y de mitologías,
Ilusión que devasta tristezas y melancolías,
Amor que deja huellas de profundas alegrías.

Dulzura incomparable del néctar exquisito,
Emoción contenida en un tierno angelito.

Lucero que alumbras las más oscuras noches,
Amistad perenne, brindada sin reproches.

Manantial único, fuente de agua cristalina,
Ungido ser, elegido para germinar el cielo,
Júbilo esperado, como aquel máximo anhelo,
Escudo inquebrantable al buscar consuelo,
Reflejo de diamante puro y de perla genuina.

lsailema/2008