miércoles, 16 de abril de 2008

Teoría de Colas o Líneas de Espera (continuación)



TIPOS DE COLAS

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

a) Una línea, un servidor.

El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico.

b) Una línea, múltiples servidores.

El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.

c) Varias líneas, múltiples servidores.

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

Estructura:

Servidores

Tiene 2 características:

  • Cantidad asignada para cada servidor.
  • Distribuciones de probabilidad de tiempo de servicio (exponencial, erlang)

Transacciones Potenciales

Tiene 2 características:

  • Tamaño ya sea este finito o infinito.
  • Distribución de probabilidad de tiempo entre llegadas (Poisson) se dice que son procesos markovianos

Fila

Tiene 3 características:

  • Capacidad que puede ser finita o infinita.
  • El orden de atención a la fila.
  • La forma de salida que pueden ser dos: 1.- Es atendido y sale; 2.-No es atendido y abandona.

Nomenclatura

S ---> Número de servidores
n
---> Número de clientes
N
---> Número máximo de clientes permitidos en el sistema
λn
--> flujo de clientes que entran, cuando hay n clientes en el sistema
μn
--> capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema
E(t)
--> tiempo promedio de proceso por cliente
V(t)
--> varianza del tiempo
E(a)
--> tiempo promedio entre llegadas
V(a)
--> varianza del tiempo entre llegadas
Ca2
--> coeficiente cuadrado de variación del flujo de cleintes que entran al sistema
Cs2
--> coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio
Cp2
--> coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema
Pij
---> probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado j después de un intervalo de tiempo
Pn -
--> Probabilidad en el estado estable de que existan n clientes en el sistema
L -
--> Número promedio de clientes en el sistema
Lq
--> Número promedio de clientes en la fila
W
---> Tiempo promedio de permanecia en el sistema
Wq
--> Tiempo promedio de permanecia en la fila
r
---> utilización promedio del servicio
Ct ---> costo total promedio del sistema por unidad de tiempo
Ce
---> costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq
---> costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificación de Kendall y Lee

Se incluye 6 de las características de la estructura

(a / b / c) : (d / e/ f)

a .- Distribución de probabilidad de tiempo entre llegadas.

b .- Distribución de probabilidad de tiempo de servicio.

Estas sistribuciones pueden ser

  • M Markovianos (Exponencial, Poisson)
  • Ek Erlang parámetro K
  • D Constante
  • H Hiperexponencial
  • G Cualquier tipo de distribución
  • Gi General independiente

c .- número de servidores.
d .- orden de atención que pueden ser.

  • FCFS primero en llegar primero en ser atendido
  • LCFS ultimo en llegar último en ser atendido
  • SIRO orden aleatorio
  • PR prioridad
  • G general

e.- número máximo de clientes que soporta en el sistema.

f .- número máximo de clientes potenciales en el sistema.

Ejemplos:

(M / D / 3) : ( FCFS / 20 / 20)

Distribución de probabilidad Markoviano con tiempo de servicio constante con 3 servidores la atención es primero en llegar primero en ser atendido, tiene 20 clientes que soporta el sistema, y 20 clientes potenciales en el sistema

(M / M / 1) : (LCFS / a / a )

Tanto la probabilidad de tiempo entre llegadas y de servicio es de tipo markoviano con atención último en llegar primero en ser atendido con capacidad de clientes y clientes potenciales infinito.

Teoría de Colas o Líneas de Espera


INTRODUCCIÓN.

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - partida.

Concepto Básico:

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes.

También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.

Definición.

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la línea de espera.

Conceptos Básicos.

Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a:

  • Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.
  • Máquinas que esperan ser reparadas.
  • Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:

  • Líneas telefónicas.
  • Talleres de reparación.
  • Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo:

  • Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.
  • Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a razón una cada 8 horas.
  • Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

Objetivos de la Teoría de Colas.

Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas consiste en:

  • Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
  • Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
  • Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo a Internet,... el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

Referencias:

Análisis y Simulación de Modelos Estocásticos --- > Azarang Mohammed

Investigación de Operaciones ---> Taha Hamdy


martes, 1 de abril de 2008

Pruebas de bondad de ajuste - Ejercicios

1.- Los siguientes son los ángulos descritos por las palomas mensajeras, en época de guerra, los cuales fueron medidos por investigadores para saber si retornan o no al punto de lanzamiento. Utilizando un ancho de intervalo igual a 13, aplique las pruebas de bondad de ajuste chi cuadrado y Kolmogorov-Smirnov, para determinar la distribución de probabilidad más apropiada, con un nivel de confianza del:

a) 90%

b) 95%

6, 7, 9, 18, 18, 17, 22, 28, 31, 30, 20, 22, 24, 25, 33, 36, 42, 42, 33, 45, 45, 50, 58, 60, 72, 83, 12, 12, 18, 10, 13, 15, 17, 17

2.- En un estudio para evaluar el rendimiento de una nueva variedad de maíz se consideró como variable en estudio el peso de la mazorca (en grs.) los resultados obtenidos en una muestra de 80 mazorcas son:
Peso en gramos ------------- Nº de Mazorcas (fi)
De 200 o menos a 250 --------------> 18
De 250 a 300 -------------------------> 22
De 300 a 350 -------------------------> 28
De 350 a 400 -------------------------> 9
De 400 a 450 o más -----------------> 3
¿Se puede afirmar con un nivel del 95%, que el peso de la mazorca se ajusta a una distribución normal?. Aplique las pruebas de bondad de ajuste chi cuadrado y Kolmogorov-Smirnov.
Nota: Peso en gramos, representa los límites normales; pero observe que el límite normal superior de la primera categoría (250), aparece como el límite normal inferior de la segunda categoría. EN OTRAS PALABRAS: los límites reales son los mismos que los normales y no deben modificarse, trabaje tal y como están.