Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidor único

Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando este llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de la fila o la longitud promedio de clientes en el sistema.

Ejercicio.

Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas, las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución Exponencial. Si alguien llega , y el sistema esta lleno se retira sin entrar.

Pasos:

1.- Identificar el modelo.

La clasificación de este modelo es:
(M/M/1) : (FCFS/4/infinito). ¿Cómo se leería este modelo?

2.- Dibujar el diagrama de transición de un paso, en el que se representan los posibles estados del sistema y sus respectivas tasas de entrada y salida.

Para nuestro ejemplo tenemos los siguientes datos:
λ=8 clientes / hora (lambda = 8 clientes por hora)
E(t)= 10 min = 1/6h (el tiempo promedio de servicio es de 10 minutos, o sea un sexto de hora, con esto procedemos a calcular miu)
µ=1/E(t) = 6 clientes/h (miu = 6 clientes por hora). Es decir miu = 1 sobre E(t)

Note que no hay lambda4, así como tampoco miu0, recuérdelo.

3.- Calcular las probabilidades de estado estacionario.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀
P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1
μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0
μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0
P2= (λ₀ λ₁) P₀/ (μ₁μ₂)

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2
μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0
P3= (λ₀λ₁λ₂) P₀/ (μ₁μ₂μ₃)

P4= (λ₀λ₁λ₂λ₃) P₀/ (μ₁μ₂μ₃μ₄)

Por axioma, sabemos que, en nuestro caso:

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 =1, ENTONCES, al reemplazar tenemos:
P0+(λ0P0)/(μ1)+(λ0λ1P0)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2P0)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3P0)/(μ1μ2μ3μ4)=1

Luego, sacando factor común P0:
P0 {1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}=1

Ahora, despejando, P0 nos queda:
P0=1/{1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}

O, lo que da lo mismo:
P0={1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}^-1

Obtenemos P0:

P0 = 0.1037

Ahora, reemplazamos P0 para obtener las restantes probabilidades, verifique :

P1= λ0/µ1 * P0 = 8/6 * 0.1037 = 0.1383

P2= λ0λ1/µ1µ2 * P0 = (8/6)² * 0.1037 = 0.1844

P3= λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 * P0 = (8/6)³ * 0.1037 = 0.2458

P4= λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4 * P0 = (8/6)⁴ * 0.1037 = 0.3277

4.- Calcular las medidas de efectividad.

La utilización del servicio es: rho= lambda promedio o lo que es lo mismo lambda efectiva sobre, s (número de servidores) por miu.

Nota: para evitar confusiones vamos diferenciar lambda de lambda promedio (lambda efectiva), así:

Lambda lo representaremos, así: λ
Lambda promedio o efectiva, así: λeff, λ.

ρ=λeff/sµ. Por lo general rho debe ser menor que 1.

Al no haber lambda efectiva, lo calculamos así:

Lambda promedio es = a la sumatoria desde 0 hasta el número de clientes, de los productos entre lambda sub n por sus probabilidades correspondientes, entonces sería:

λ= ∑λ_n P_n

En nuestro caso cada lamda, desde lambda0 hasta lambda3 = 8

λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ=0.8296+1.1072+1.4752+1.9664+0
λeff=5.3776

probabilidad de que esté lleno, P4 = 0.3277

ρ=5.3776/6 = 0.8963
89.63 à Porcentaje que pasa ocupado el sistema.

P0 = 1 – ρ
P0 = 0.1037 à Prob. De que el sistema esté vacío.

L = ∑n Pn => 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + 4P4
L = 0 + 0.1283 + 0.365+0.7374+1.3108
L=2.5553

Lq = ∑(n-s) Pn

Lq = 0P1+P2+2P3+3P4
Lq = 0.1844+0.4916+0.9831
Lq=1.6591

W=L/λeff
W=2.5553/5.3776
W=0.4752

Wq=Lq/λeff
Wq=1.6591/5.3776
Wq=0.3085

5.- Si es posible, calcular los costos del sistema.
Es decir: Ct = CeS + CqLq; pero como aquí no se requiere, termina el ejercicio.