Teoría de Colas. Poisson Generalizado.

Largo plazo o estado estable.

Este modelo combina tanto llegadas como salidas con base en las suposiciones de Poisson, es decir los tiempos entre llegadas y de servicio siguen una distribución exponencial.

Este modelo generalizado es la base para la derivación de los modelos especializados de Poisson. Este modelo se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas, que se logra después de que el sistema ha estado en operación durante un período de tiempo suficientemente grande.

Es decir contrasta con el comportamiento transitorio o de calentamiento que vimos hasta la clase anterior, cabe decir que el análisis de ese calentamiento como se vio anteriormente fue muy complejo y es importantísimo recalcar que la mayor parte de las situaciones de colas se da en estado estable, como el del modelo generalizado.

Es importante que el sistema esté balanceado, es decir, que la tasa esperada de flujo de entrada al estado n debe ser igual a la tasa esperada de flujo de salida del estado n, así:

λ_n-1 P_n-1 + μ_n+1 P_{n +1} = λ_n P_n + μ_n P_n ; esta es la condición básica de balance: las entradas deben ser iguales a las salidas.

Note lo siguiente: partiendo de 0, el sistema sólo puede cambiar a uno, por qué?.

La lectura correcta sería: el sistema cambia su estado a 1, cuando un cliente arriba o llega, con una tasa lambda sub 0, y de 1 cambia a 0 con una tasa de servicio miu sub 1, es decir: cuando el sistema ya atendió al cliente. Esto se denomina el diagrama de tasa de transición que representa los posibles estados de un sistema.

Ecuaciones de balance.

Cuando el estado del sistema es 0 (cuando está vacío), es decir n=0.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀

P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

La probabilidad P1, al igual que las demás, las dejaremos en función de P0, recuérdelo.

n=1; cuando hay 1 sólo cliente en el sistema; es decir las entradas dan un valor 1, si estando vacío el sistema, llega un cliente con una tasa de llegada lambda 0, con su valor correspondiente de probabilidad P0, o también, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 2, con su valor correspondiente de probabilidad P2. En cambio las salidas pueden dar un valor 2, si estando 1 sólo cliente en el sistema, llega un nuevo cliente con una tasa de llegada lambda 1, con su valor correspondiente de probabilidad P1, o también puede quedarse vacío, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 1 con su valor correspondiente de probabilidad P1, representemos y hallemos P2

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1

μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0

μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0

P2= (λ1λ0)/(μ1μ2) P0

Por favor, revise y corrija lo demás.

n=2

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2

μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0

Pn = ((λ0λ1λ2… λn-1)/( μ1μ2μ3… μn))P0

P0+ (λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)=1

P0 { 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}=1

P0=1/{ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}

P0={ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}^-1