Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidores múltiples.

EJERCICIO.

Dos compañías de taxis atienden a una comunidad. Cada empresa posee 2 taxis y se sabe que ambas compañías comparten el mercado casi igualmente, las llamadas llegan a cada compañía a una tasa de 8 por hora, el tiempo promedio de viaje es de 12 minutos las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. Recientemente las 2 compañías fueron compradas por un inversionista para proporcionar un servicio más rápido a los clientes. Si no es posible comprar más taxis y se pretende reducir el tiempo de espera, lo que se consigue cuando la oficina despachadora informe a los clientes nuevos, de un potencial retraso excesivo una vez que la lista llega a 6, investigue la factibilidad de que ese consejo sea seguido (consolidar o no).

Solución: MOSTREMOS LOS 2 POSIBLES ESCENARIOS

ESCENARIO 1: CONSOLIDAR EN UNA SOLA COMPAÑÍA

Paso 1.- (M/M/4):(FCFS/10/inf). Son 4 taxis (4 servidores), N = 10, porque serían los 4 clientes que están siendo atendidos + los 6 que máximo estarían esperando.

Paso 2.- El diagrama de transición.

λ =8clientes/hora+8clientes/hora = 16 clientes/hora (8clientes/hora, por cada compañía)

E(t)=12min=1/5 h
µ=1/E(t) = 5 clientes/hora

EXPLICACIÓN: Si un taxista puede servir a 5 clientes por hora, 2 taxistas pueden servir a 10, 3 taxistas a 15, y 4 a 20 clientes por hora; pero al no haber más taxis, es obvio que, la tasa de servicio desde allí en adelante será una constante de 20 clientes por hora.

Paso 3.- Las probabilidades

P0 = [1+λ0/µ1+ λ0λ1/µ1µ2 + λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 + λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4
+ λ0λ1λ2λ3λ4/µ1µ2µ3µ4µ5+…+λ0λ1λ2…λ9/µ1µ2µ3… µ10]^-1

P0=0.03121

P1=(3.2)(0.03121)=0.09987

P2=5.12(0.03121)=0.15979

P3=5.46133 (0.03121)=0.17045

P4=4.3691(0.03121)=0.13636

P5=0.10909

P6=0.08727

P7=0.06982

P8=0.05585

P9=0.04468

P10=0.03575

Paso 4.- las medidas de efectividad

λ= ∑λn Pn
λ=16P0+16P1+16P2+16P3+16P4+16P5+16P6+16P7+16P8+16P9
λ=15.42815

ρ=λ/µs

ρ=15.4285/20

ρ=0.77141

Lq = ∑(n-s) Pn
Lq=1P5+2P6+3P7+4P8+5P9+6P10
Lq=1.15421

L=4.23984

W=0.27481

Wq= Lq/λ
Wq=0.05934/7.99822
Wq=0.07481

Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidores múltiples. Continuación

ESCENARIO 2: SIN CONSOLIDAR (POR CADA COMPAÑÍA)

Paso 1.- (M/M/2):(FCFS/8/inf). Son 2 taxis (2 servidores), N = 8, porque serían los 2 clientes que están siendo atendidos + los 6 que máximo estarían esperando.

Paso 2.- El diagrama de transición.

λ =8 clientes/hora (8clientes/hora, por cada compañía)
E(t)=12min=1/5 h
µ=1/E(t) = 5 clientes/hora

EXPLICACIÓN: Si un taxista puede servir a 5 clientes por hora, 2 taxistas pueden servir a 10 clientes por hora; pero al no haber más taxis en cada compañía, es obvio que, la tasa de servicio desde allí en adelante será una constante de 10 clientes por hora.

Paso 3.- Las probabilidades

P0 = [1+λ0/µ1+ λ0λ1/µ1µ2 + λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 + λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4
+ λ0λ1λ2λ3λ4/µ1µ2µ3µ4µ5+…+λ0λ1λ2…λ7/µ1µ2µ3… µ8]^-1

P0=0.13059

P1=(1.6)(0.13059)=0.20894

P2=1.28(0.13059)=0. 16715

P3=1.024 (0.13059)=0.13372

P4=0.8192(0.13059)=0.10698

P5=0.08558

P6=0.06846

P7=0.05477

P8=0.04382

Paso 4.- las medidas de efectividad

λ= ∑λn Pn
λ=8P0+8P1+8P2+8P3+8P4+8P5+8P6+8P7
λ=7.64946

ρ=λ/µs
ρ=7.64946/10
ρ=0.761495

Lq = ∑(n-s) Pn
Lq=1P5+2P6+3P7+4P8+5P9+6P10
Lq=1.41503

L=2.94492

W=0.38498

Wq= Lq/λ
Wq=0.05934/7.99822
Wq=0.18498

Concluyendo: se debe consolidar en una sola compañía, pues, aún cuando rho es aproximadamente del 77% en ambos casos, es decir operan al 77% del tiempo en ambas circunstancias, los tiempos de espera y en el sistema son menores si se consolidan, así como la cantidad de personas esperando ser atendidas, Lq.

Modelos (M/M/c) : (d/N/f). Servidor único

Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando este llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de la fila o la longitud promedio de clientes en el sistema.

Ejercicio.

Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas, las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución Exponencial. Si alguien llega , y el sistema esta lleno se retira sin entrar.

Pasos:

1.- Identificar el modelo.

La clasificación de este modelo es:
(M/M/1) : (FCFS/4/infinito). ¿Cómo se leería este modelo?

2.- Dibujar el diagrama de transición de un paso, en el que se representan los posibles estados del sistema y sus respectivas tasas de entrada y salida.

Para nuestro ejemplo tenemos los siguientes datos:
λ=8 clientes / hora (lambda = 8 clientes por hora)
E(t)= 10 min = 1/6h (el tiempo promedio de servicio es de 10 minutos, o sea un sexto de hora, con esto procedemos a calcular miu)
µ=1/E(t) = 6 clientes/h (miu = 6 clientes por hora). Es decir miu = 1 sobre E(t)

Note que no hay lambda4, así como tampoco miu0, recuérdelo.

3.- Calcular las probabilidades de estado estacionario.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀
P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1
μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0
μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0
P2= (λ₀ λ₁) P₀/ (μ₁μ₂)

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2
μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0
P3= (λ₀λ₁λ₂) P₀/ (μ₁μ₂μ₃)

P4= (λ₀λ₁λ₂λ₃) P₀/ (μ₁μ₂μ₃μ₄)

Por axioma, sabemos que, en nuestro caso:

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 =1, ENTONCES, al reemplazar tenemos:
P0+(λ0P0)/(μ1)+(λ0λ1P0)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2P0)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3P0)/(μ1μ2μ3μ4)=1

Luego, sacando factor común P0:
P0 {1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}=1

Ahora, despejando, P0 nos queda:
P0=1/{1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}

O, lo que da lo mismo:
P0={1+(λ0)/(μ1)+(λ0λ1)/(μ1μ2)+(λ0λ1λ2)/(μ1μ2μ3)+(λ0λ1λ2λ3)/(μ1μ2μ3μ4)}^-1

Obtenemos P0:

P0 = 0.1037

Ahora, reemplazamos P0 para obtener las restantes probabilidades, verifique :

P1= λ0/µ1 * P0 = 8/6 * 0.1037 = 0.1383

P2= λ0λ1/µ1µ2 * P0 = (8/6)² * 0.1037 = 0.1844

P3= λ0λ1λ2/µ1µ2µ3 * P0 = (8/6)³ * 0.1037 = 0.2458

P4= λ0λ1λ2λ3/µ1µ2µ3µ4 * P0 = (8/6)⁴ * 0.1037 = 0.3277

4.- Calcular las medidas de efectividad.

La utilización del servicio es: rho= lambda promedio o lo que es lo mismo lambda efectiva sobre, s (número de servidores) por miu.

Nota: para evitar confusiones vamos diferenciar lambda de lambda promedio (lambda efectiva), así:

Lambda lo representaremos, así: λ
Lambda promedio o efectiva, así: λeff, λ.

ρ=λeff/sµ. Por lo general rho debe ser menor que 1.

Al no haber lambda efectiva, lo calculamos así:

Lambda promedio es = a la sumatoria desde 0 hasta el número de clientes, de los productos entre lambda sub n por sus probabilidades correspondientes, entonces sería:

λ= ∑λ_n P_n

En nuestro caso cada lamda, desde lambda0 hasta lambda3 = 8

λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ= 8 p0+8p1+8p2+8p3+0p4
λ=0.8296+1.1072+1.4752+1.9664+0
λeff=5.3776

probabilidad de que esté lleno, P4 = 0.3277

ρ=5.3776/6 = 0.8963
89.63 à Porcentaje que pasa ocupado el sistema.

P0 = 1 – ρ
P0 = 0.1037 à Prob. De que el sistema esté vacío.

L = ∑n Pn => 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + 4P4
L = 0 + 0.1283 + 0.365+0.7374+1.3108
L=2.5553

Lq = ∑(n-s) Pn

Lq = 0P1+P2+2P3+3P4
Lq = 0.1844+0.4916+0.9831
Lq=1.6591

W=L/λeff
W=2.5553/5.3776
W=0.4752

Wq=Lq/λeff
Wq=1.6591/5.3776
Wq=0.3085

5.- Si es posible, calcular los costos del sistema.
Es decir: Ct = CeS + CqLq; pero como aquí no se requiere, termina el ejercicio.

Teoría de Colas. Poisson Generalizado.

Largo plazo o estado estable.

Este modelo combina tanto llegadas como salidas con base en las suposiciones de Poisson, es decir los tiempos entre llegadas y de servicio siguen una distribución exponencial.

Este modelo generalizado es la base para la derivación de los modelos especializados de Poisson. Este modelo se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas, que se logra después de que el sistema ha estado en operación durante un período de tiempo suficientemente grande.

Es decir contrasta con el comportamiento transitorio o de calentamiento que vimos hasta la clase anterior, cabe decir que el análisis de ese calentamiento como se vio anteriormente fue muy complejo y es importantísimo recalcar que la mayor parte de las situaciones de colas se da en estado estable, como el del modelo generalizado.

Es importante que el sistema esté balanceado, es decir, que la tasa esperada de flujo de entrada al estado n debe ser igual a la tasa esperada de flujo de salida del estado n, así:

λ_n-1 P_n-1 + μ_n+1 P_{n +1} = λ_n P_n + μ_n P_n ; esta es la condición básica de balance: las entradas deben ser iguales a las salidas.

Note lo siguiente: partiendo de 0, el sistema sólo puede cambiar a uno, por qué?.

La lectura correcta sería: el sistema cambia su estado a 1, cuando un cliente arriba o llega, con una tasa lambda sub 0, y de 1 cambia a 0 con una tasa de servicio miu sub 1, es decir: cuando el sistema ya atendió al cliente. Esto se denomina el diagrama de tasa de transición que representa los posibles estados de un sistema.

Ecuaciones de balance.

Cuando el estado del sistema es 0 (cuando está vacío), es decir n=0.

μ₁ P₁ = λ₀ P₀

P₁ = λ₀ P₀/ μ₁

La probabilidad P1, al igual que las demás, las dejaremos en función de P0, recuérdelo.

n=1; cuando hay 1 sólo cliente en el sistema; es decir las entradas dan un valor 1, si estando vacío el sistema, llega un cliente con una tasa de llegada lambda 0, con su valor correspondiente de probabilidad P0, o también, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 2, con su valor correspondiente de probabilidad P2. En cambio las salidas pueden dar un valor 2, si estando 1 sólo cliente en el sistema, llega un nuevo cliente con una tasa de llegada lambda 1, con su valor correspondiente de probabilidad P1, o también puede quedarse vacío, si estando sólo 2 clientes en el sistema, sale 1 de ellos, con una tasa de servicio miu 1 con su valor correspondiente de probabilidad P1, representemos y hallemos P2

λ0 P0+ μ2 P2 = λ1 P1 + μ1 P1

μ2 P2 = (λ1 + μ1) P1 - λ0 P0

μ2 P2 = ((λ1λ0) / μ1 + λ0) P0 - λ0P0

P2= (λ1λ0)/(μ1μ2) P0

Por favor, revise y corrija lo demás.

n=2

λ1 P1+ μ3 P3 =(λ2 + μ2) P2

μ3 P3 = (λ2 + μ2) (λ1λ0)/(μ1μ2)P0 – λ1(λ0/ μ1)P0

Pn = ((λ0λ1λ2… λn-1)/( μ1μ2μ3… μn))P0

P0+ (λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)=1

P0 { 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}=1

P0=1/{ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}

P0={ 1+(λ0P0)/(μ1)+ (λ0λ1P0)/(μ1μ2)… (λ0λ1λ2… λn-1P0)/(μ1μ2… μn)}^-1